Для этого вам понадобяться следующие компоненты:  Button вкладка Standard 
 OpenDialog вкладка Dialogs 
 MediaPlayer вкладка System 
 
 Кидаем на форму эти компоненты и в обработчике событий он клик кнопки(Button) пишем: 
 MediaPlayer1.Close; 
 if opendialog1.Execute then 
 begin 
 MediaPlayer1.FileName:=opendialog1.FileName; 
 MediaPlayer1.Open; 
 end; 
 
 
 В итоге код должен получиться таким : 
 procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject); 
 begin 
 MediaPlayer1.Close; 
 if opendialog1.Execute then 
 begin 
 MediaPlayer1.FileName:=opendialog1.FileName; 
 MediaPlayer1.Open; 
 end;  end; 
 end.